آنچه در پاورپوینت ریاضی مهندسی خواهید دید

فصل یک – اعداد مختلط

مجموعه نقطه‌اي در صفحه مختلط

يك همسايگي عدد حقيقي      فاصله ايست به شكل                       كه            عدد حقيقي مثبت است؛ يك همسايگي      مجموعه نقاط           است كه كه     همسايگي مربعي از نقاط           مجموعه همه نقاطي چون          است كه در دو نامساوي زير صدق مي‌كند.

همسايگي محذوف هم به صورت                       نشان داده مي‌شود كه شامل همسايگي     ، بدون نقطه‌ي       مي‌باشد يك قطر را زماني نقاط داخلي مجموعه S مي‌ناميم كه تمام نقاط همسايگي آن فقط در مجموعه S باشد.

يك قطر را زماني ثط خارجي مجموعه S مي‌ناميم كه تمام نقاط همسايگي آن خارج از مجموعه S باشد.

يك مجموعه باز است اگر شامل هيچ يك از نقاط مرزي خود نباشد؛ يك مجموعه بسته است اگر شامل همه نقاط مرزي خود باشد.

يك مجموعه باز همبند است اگر هر زوج آن را بتوان با يك خط شكسته متشكل از تعدادي متناهي باز خط كه كاملاً روي S واقع است به هم كرد.

قضيه يك: حاصلجمع، ضرب و تفاضل توابع پيوسته و نيز حاصل تقسيم آنها به شرطي كه مخرج صفر نباشد پيوسته است.

قضيه 2: تابع پيوسته اي از يك تابع پيوسته، پيوسته است يعني اگر f و g پيوسته باشند آنگاه f(g(z)) نيز پيوسته است.

قضيه 3 و شرط لازم و كافي براي آنكه                                    پيوسته باشد آن است كه توابع حقيقي        پيوسته باشد. (براي نقض كردن كافيست چند مسير دهيم.)

توابع تحلیلی

تعریف : تابع              را در نقطه      تحلیلی گویند هرگاه یک همسایگی نقطه z موجود باشد بطوریکه تابع f در تمام نقاط این همسایگی مشتق پذیر باشد و تابع             در ناحیه R تحلیلی گویند هرگاه در تمام نقاط آن تحلیل باشد .

تابع تام : اگر تابع             در تمام صفحه مختلط تحلیلی باشد به این تابع تام می گویند .

مثال 1 : تابع         در       تحلیلی نیست پس تام نمی باشد .

مثال 2 : تابع               در تمام نقاط تحلیلی می باشد پس تام است