بررسی کاربرد عدد پی و روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی

فهرست مطالب

عنوان

مقدمه

تاریخچه

تقریب اعشاری عدد پی

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی

چرا عدد پی را محاسبه می کنیم؟

با سوزن عدد “PI” را حساب کنید 9

عدد پی تا 400 رقم اعشار

روز جهانی پی

منابع

مقدمه

img/daneshnameh_up/5/56/pi1.jpg عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو آن را با

نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.

تاریخچه

بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول

محاسبه می‌کردند.( d قطر دایره در نظر گرفته می‌شد )که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست می‌آید.

img/daneshnameh_up/d/d6/cir.jpg

تقریب اعشاری عدد پی

اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم

محیطیو یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

این فرمول به صورت زیر است

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی

عدد پی یا شمار پی (π) یکی از ثابت‌های ریاضی است که در ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد.

مردم تمدنهای باستان بخوبی میدانستند که نسبت محیط هر دایره به قطر آن عدد ثابتی است که به ۳ نزدیک است. خاورمیانه‌ای‌ها پیش از ارشمیدس هم کوشش در محاسبه دقیق این عدد کرده بودند، اما ارشمیدس نخستین کسی بود که روشی را برای محاسبه عدد پی ارائه داد.

او مقدار عدد پی را با تقریب محاسبه و اینگونه ارائه کرد

$\frac {22} {7} < \pi < \frac {223} {71}$

وی برای محاسبه عدد پی، بر یک دایره به قطر واحد از چندضلعی‌های محیطی و محاطی استفاده کرد.

مردم مصر باستان و تمدن میانرودان (بین النهرین) مقدار عدد پی را بترتیب حدود

$\frac {25} {8} = 3.125$ و 3.126

می دانستند. همچنین در یکی از پاپیروسهای مصری بطور مشخص برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن از عدد

2(8/9)4 = 3.16

استفاده شده است.

در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی عددی جبری نیست و (همانند عدد e) نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند. این کشف بزرگ، یعنی این که عدد پی عددی گنگ است، به سالها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

باوجود آنکه همه ریاضیدانان می‌‌دانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمی‌توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدلهای محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما تا قبل از ساخت رایانه هرگز نتوانستند این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.

نخستین محاسبه رایانه‌ای در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از ابررایانه‌های دانشگاه توکیو این عدد را تا 206,158,430,000 رقم اعشار محاسبه نمود.

از فرمول‌های زیبای ریاضیات برای محاسبه عدد پی می‌توان به سری معروف لایبنیتز اشاره کرد

π = 4 * (1/1 1/3 + 1/5 1/7 + …)

چرا عدد پی را محاسبه می کنیم؟